万维宇宙-第34部分

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的点是可能的，因为有限的时间和距离本身都是可以无限分割的。

　　关于阿基里斯，如慢者永远领先当然无法追上，但若允许越过一个距离，那就可以追上了。

　　关于飞矢不动，这个论证的前提是时间的不连续性，若不承认这个前提，其结论也就不再成立了。

　　关于运动场，相对于运动物体与相对于静止物体的速度当然是不一样的，越过同样距离所花的时间当然也不一样。

　　2．康德解答　

　　康德认为这些矛盾其实是人类时空观念中固有的，因此，无论时间还是空间其实都不是真实的。时间和空间并非事物的属性，而是我们感知事物方式的属性。它们不过是我们感知的形式而已，是我们的头脑把时间和空间强加给了客观世界，而不是客观世界把时间和空间强加给我们的大脑。

　　从芝诺悖论中，康德看到了对“无穷”的理解超出了人类的理性能力。只要我们试图去思考这一问题，无论是“无穷大”还是“无穷小”，都会遇上不可调和的逻辑矛盾。　

　　3．休谟解答

　　休谟否认时间和空间的无限可分性，他认为两者都是由有限的不可分的单元组成的，犹如魔方是由27块木块组成的一样。

　　但那单元本身必有一定数量，而这种本身既具有一定数量、却又是不可分割的单元是无法想象的。

　　4．黑格尔解答

　　黑格尔是马克思的鼻祖。他认为，芝诺的悖论其实反映了理性本质上的矛盾性。一切思想和推理，都含有内在的矛盾，矛盾的两方面首先是互相否定的，但在更高层次上却得到统一。　

　　黑格尔解释：运动的意思是说，在这个地点又不在这个地点；这就是空间和时间的连续性，──并且这才是使得运动可能的条件。

　　这个解决方法要点在于强调时间空间的连续性，而且对连续性赋与新的、特有的解释。不过，它并没有直接针对芝诺悖论本身来提出批评，而且关于连续性的独特解释与数学和逻辑所要求的精确性不相容。

　　黑格尔认为芝诺不懂得连续性和间断性的辩证关系，把这两者机械的对立起来，所以造成运动悖论。

　　5．其他解答

　　时空是否可以无限分割，芝诺悖论的关键是使用了两种不同的时间测度。原来，我们用来测量时间的任何一种“钟”都是依靠一种周期性的过程作标准的。如太阳每天的东升西落，月亮的圆缺变化，一年四季的推移，钟摆的运动等等。人们正是利用它们循环或重复的次数作为时间的测量标准的。

　　芝诺悖论中除了普通的钟以外，还有另一种很特别的“钟”，就是用阿基里斯每次到达上次乌龟到达的位置作为一个循环。　

　　用这种重复性过程测得的时间称为“芝诺时”。例如，当阿基里斯在第n次到达乌龟在第n次的起始点时，芝诺时记为n，这样，在芝诺时为有限的时刻，阿基里斯总是落在乌龟后面。但是在我们的钟表上，假如阿基里斯跑完AB用了1分钟，那么他跑完BC只要6秒钟，跑完CD只需　秒，实际上，他只需要11/9分钟就可以追上乌龟了。　

　　因此，芝诺悖论的产生原因，是在于“芝诺时”不可能度量阿基里斯追上乌龟后的现象。在芝诺时达到无限后，正常计时仍可以进行，只不过芝诺的“钟”已经无法度量它们了。

　　希腊第奥根尼对芝诺悖论有一个回答，当他的学生向他请教如何反驳芝诺时，他一言不发，在房间里走来走去，学生还是不理解，他说：“芝诺说运动不存在，我这不是正在证明他是错的吗？”

　　这个故事很长时间被作为一个笑话，人们大多相信，第奥根尼根本没有弄懂芝诺的意思。芝诺并不是说在自然界没有运动这么一回事，他当然承认有，但他要说的是，虽然满目是物体在飞舞，但运动是不合理的，我们可以通过逻辑证明运动是不可能的。因此，我们所看到的运动是假象，并不真实，因为真实的东西一定是合乎逻辑的。

　　布拉德雷是绝对唯心主义者，全盘接受芝诺的论证和结论。他视运动、时间、空间为都幻象，芝诺论辩正好符合他的主张，当然全盘接受。他说：“时间与空间一样，已被最明显不过的证明为不是实在，而是一个矛盾的假象。”

　　哲学史上大部分哲学家认为芝诺的结论是荒谬的，其论证有问题。不过，在不断检查其论证毛病的过程中，人们反倒发现了芝诺悖论的深刻之处。常常是人们自以为解决了芝诺悖论，不多久就又发现其实并没有解决。

　　三、悖论分析

　　1．解答之误


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　　关于芝诺悖论，从客观世界来看肯定是不对的，常识告诉我们阿基里斯是肯定能比乌龟跑的快，肯定能追上乌龟超越乌龟的；否则，一是人动不起来，二是百米短跑竞赛也丧失比赛的基础。

　　但这个悖论的推理却十分严谨，所有关于这个悖论的解释都有问题。比如亚里士多德说在无限的时间点中越过无限的空间点是可能的，这个思路是说无限可以对应无限。现在云寒照样推翻这个结论，证明如下：

　　2>；1

　　两边同时除以0等于什么？

　　一种论述是不能除以0，因为没有意义。其实还有一种就变成∞>；∞，这就是无限包容无限的概念。

　　我们数学上最大的约束是0不能除，数学公式经常出现：一个数除以0要么是无穷大，要么是没有意义。

　　前一个∞代表0到2之间的无限细分，即这个区间自然小数的数目；后一个∞表示0到1之间的自然小数的数目。虽然都是无限，但前者的无限肯定大于后者的无限，因为前者包容后者。你有我都有，你无我却有，我就是比你多一点，所以可以包容你。

　　以线段为例：定义A就是表示长度为2米的线段，定义B就是长度为1米的线段。那么上述的问题就清楚，即A里面的点与B里面的点是不是一样多。

　　现在从A中找一个点，然后在B中取一个点与它对应；如果全部能一一对应就表示相等：

　　

　　

　　

　　

　　……

　　2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1

　　如果你再细分点

　　

　　

　　

　　

　　……

　　2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1

　　因此不管怎样细分，两个线段上的点都是可以建立一一对应关系，那么2=1吗？肯定不是，因为这两个线段包含的点都是无限；所以如果你采用一一对应关系，无限就等于无限，结果就是2=1。

　　实际应该用排除法；即A里面包含的点是B里面没有的，比如这个数，1里面就找不到，所以A里面包含的点大于B里面的点。但这结果说明什么？两边的点都是无穷，那么无穷可以大于无穷吗？既然都是无穷怎么还有大小之分？

　　结论：如果承认2大于1，就必须承认无限细分不一定可以对应无限细分，无限细分中也要分大小。

　　因此亚里士多德说把时间在结构上看成与空间完全一样，也可以无限分割的，那么在无限的时间点中越过无限的空间点是可能的。这句话没有错，但他没有证明是一定能对应，只是说可能对应。

　　时间和空间都不是一个东西，也不排除能出现空间的无限细分大于时间的无限细分这种情况，这就说明亚里士多德还是没有从根本上解决芝诺悖论。

　　其他的解释还不如亚里士多德的解释，就更不能说是解答了，这就需要考虑悖论的原因是什么？　

　　2．模拟悖论

　　芝诺悖论为什么不好解释的？根本原因是我们对宇宙的结构存在严重的认识不足，导致无法解释这最简单的悖论。



　　现在云寒也模拟一个类似的悖论，一个线段长度是2米，它里面包含的点是有限还是无限？

　　假定它是有无限个点组成：

　　假定点是没有长度，无限个0相加的结果是什么？是0，但是现在线段却怎么有长度的呢？

　　假定点是有长度的，不管是多长，那么无限个长度相加结果必然是无穷大，又怎么能形成2米长度的线段呢？

　　所以2米的线段不能是无限的点组成的。

　　假定它是有限个点组成：

　　那么不断地将它分开，最后必然出现一个不能分的点，长度除以点所对应的有限的数字，就能计算出这个点具体的长度。

　　但既然它有长度，不管多长，就肯定能分，一旦能分，那么就会形成两个新的点，那么点的数字就会增加2倍。

　　按照这样的计算，有限的点不管是多少个，这个数量都是可以不断增加2倍、4倍…，既然有限的数字是处于不断成倍增加中；那它又怎么能算是有限的数字呢？

　　所以2米的线段不能是有限的点组成的。

　　那么2米线段里面的点到底是有限还是无限？

　　这个悖论的内涵是与芝诺悖论的内涵一样的，要解释芝诺悖论，必须要面对这个模拟悖论，才能分析清楚。

　　3．数学自然

　　几何的基本概念“点、线、面”，　“点”没有长度，“线”没有宽度，“面”没有厚度。这样的思维理论已经成功建立了我们的数学王国，但它的基础是什么呢？

　　有的人说：数学思维的过程是一个抽象过程，这抽象的结果，必然是偏离客观真实，造出一堆客观世界没有的模型来，当人们反过来去用这些失真的模型去处理客观事物时，就出现一系列的悖论：没有长度的“点”却可以组成具有长度的“线”；没有宽度的“线”却可以组成具有宽度的“面”；没有厚度的“面”却可以组成具有厚度的“立体实物”。　

　　关于德谟克利特锥的悖论：画一个光滑的圆锥体，现在设想把这个锥体水平切成两部分。考虑到切割后露出的两个面a和b，这两面的面积是相等还是不相等呢？