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投资学(第4版)-第48部分
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余下的比例1…y，即无风险资产F的投资比例。
记风险收益率为rP，P的期望收益率为E（rP），标准差为
。无风险资产收益率为rf。
在下面的数字例子中，我们假定，E（rP） = 1 5％，
P
P= 2 2％，无风险收益率rf= 7％。因此，
风险资产的风险溢价为E（rP）…rF= 8％。
由y份风险资产与（1…y）份无风险资产组成的整个资产组合，记为C，其收益率
记为rC，有
rC ＝y rP＋（ 1…y）rf
对资产组合的收益率取期望值，有
E（rC ） = yE（rP ） ＋ （1 … y）rf = rf ＋ y＇E（rP ） … rf ＇ = 7 ＋ y（15 … 7） （7 … 1）
这个结果很容易解释。任意资产组合的基本收益率是无风险资产收益率。另外，
资产组合期望获得一个无风险溢价，它依赖于无风险资产组合的风险溢价E（rP）…rf以及
投资者的记作y的风险资产的风险暴露。这里，投资者被假设为是风险厌恶型的，并
且在没有正的风险溢价时不愿意持有风险头寸。
按我们在第6章所讲的，当我们用一个风险资产和一个无风险资产组成资产组合
时，这个组合的标准差等于风险资产的标准差乘以其在资产组合中的权重。在我们的
例子中，整个资产组合由风险资产与无风险资产组成。因为风险资产的标准差为
P= 2 2％，所以
= 22y （7 … 2）
= y
C
P
这表明其原因是资产组合的标准差与风险资产的标准差及其投资比例成比例。总之，
整个资产组合收益率将有期望值E（rC） =rf＋y＇E（rP）…rf＇ = 7 ＋ 8y，标准差
C= 2 2y。
第7章风险资产与无风险资产之间的资本配置
157
下载
下一步是在期望收益…标
准差平面中画出资产组合特征
（作为y的一个函数）曲线，参
见图7 … 2。无风险资产F的期望
收益…标准差组合是一条竖轴，
因为其标准差为零。风险资产
P画在点
P= 2 2％，E（rP） = 1 5％上。
如果投资者选择单独投资于风
险资产，则y= 1 。 0，其结果就是
资产组合P。如果所选头寸为
y= 0，则1…y= 1 。 0，其结果为无
风险资产组合F。
当y落在0 与1之间时，处
于中间范围的更有趣的资产组
合会怎样呢？这些资产组合画成图形即为连接点F和P的直线。那条直线的斜率简记为
＇E（rP）…rf＇ /
（或者增量/自变量），在此例中为8 / 2 2。
结论是直观的。提高整个资产组合中投资于风险资产的那部分资产，由风险溢价
公式7 … 1可知，期望收益会提高，这里为8％。它也会使资产组合的标准差上升，根据
公式7 … 2为2 2％，则每单位额外风险的额外收益就是：8 / 2 2 = 0 。 3 6。
为了写出点F和P之间直线的确切方程，我们把等式7 … 2重新整理，有y=
P
，将y
代入7 … 1式来描述期望收益与标准差的替代关系，有
C/
P
E（rC ） = rf ＋ yE＇ （rP ） … rf ＇= rf ＋ CP＇E（ rP ） … rf ＇ = 7 ＋
8
22 C
因此，资产组合的期望收益作为其标准差的函数是一条直线，截距为rf，斜率如下：
图7…2 期望收益…标准差组合图
E（ r） … r8
S = Pf =
P
22
图7 … 3为投资机会集合（the investment opportunity set），即由不同y值产生的所
有资产组合的可能期望收益与标准方差配对的集合。其图形是由rf点引出，穿过P点
的直线。
CAL＝资本
配置曲线
图7…3 风险资产与无风险资产的投资机会集合
158 第二部分资产组合理论下载
这条直线叫做资本配置线（capital allocation line，C A L），它表示投资者的所有
可行的风险收益组合。它的斜率S，等于选择的资产组合每增加一单位标准差上升的
期望收益，换句话说，就是每单位额外风险的额外收益的测度。基于这一原因，该斜
率也可称为酬报与波动性比率（reward…to…variability ratio）。
一个资产组合在风险资产与无风险资产之间等分，也就是说，当y= 0 。 5时，期望收益
率E（rc） = 7 ＋ （ 0 。 5×8 ） = 11％，意味着风险溢价为4％，标准差C= 0 。 5×2 2 = 11％，用图形表示是
直线F P上F和P的中点，酬报与波动性比率S= 4 / 11 = 0 。 3 6，很准确地与资产组合P相等。
概念检验
问题2：风险资产与无风险资产任意组合的酬报与波动性比率S= ＇E（rC）…rf＇ / C和只
取风险资产的比率＇E（rP）…rf＇ / P（例中为0 。 3 6），有没有不同？
那么，处在投资机会集合中线上的资产组合P右边的点是什么呢？如果投资者能
以（无风险）利率rf= 7％借入，他们就可以构造出资本配置线上P点右边的资产组合。
假定投资预算为300 000美元，我们的投资者另外借120 000美元，把所有可用资
金全部投入风险资产中。这是一个风险资产的杠杆头寸（ leveraged position），因为它
有部分资金来自借贷。在例子中
y=420 000/300 000=1。4
1…y= 1…1 。 4 =…0 。 4，这反映出无风险资产是空头，即一个借入头寸。投资者不是以
7％利率借出，而是借入。资产组合收益率分布仍旧展现出相同的酬报与波动性比
率：
正如我们所期望的，杠杆资产组合比风险资产的非杠杆头寸有更高的标准差。
当然，非政府投资者不能以无风险利率借入资金。借款者的违约风险使得贷款者
要求更高的贷款利率。因此，非政府投资者的借款成本将超过贷出利率rf= 7％。假设
借入利率rB
f = 9％，则在借入资金的条件下，酬报与波动性比率，也就是资本配置线的
E（rC ） = 7％ ＋ （1。4 ′ 8％） = 18。2％
C = 1。45′ 22％ = 30。8％
S =
E（rC ） … rf
C
= 18。2 … 7
30。8
= 0。36
图7…4 不同借贷利率时的机会集合
下载第7章
风险资产与无风险资产之间的资本配置
159
斜率将为：＇E（rP）…rfB＇ /
P ＝6 / 2 2＝0 。 2 7。因此，资本配置线将在点P处被“弯曲”，如图
7 … 4所示。在P点左边，投资者以7％借出，C A L的斜率为0 。 3 6。在P点右边，这里y＞1，
投资者以9％借入额外资金，投资于风险资产，斜率为0 。 2 7。
实际上，如果你在经纪人那里有一保证金帐户，用借款投资于风险资产既容易又
直接。你所要做的全部事情就是告诉你的经纪人，你要以“保证金”的方式购买。保
证金方式购买的数量不能超过购买价格的5 0％。因此，如果你的帐户净值为300 000美
元，经纪人可以借给你最多300 000美元，以购买额外的股票。＇1＇ 这样，你的帐户中在
资产方可能有600 000美元，在负债方有300 000美元，结果，y＝2 。 0。
概念检验
问题3：假定风险资产的期望收益率从1 5％升至1 7％，如果其他所有条件保持不变，
当y≤1和y》 1时，资本配置线的斜率会如何变化？
7。4 风险忍让与资产配置
我们已经说明如何建立资本配置线，即不同资产配置选择的所有可行风险…收益
组合的图形。面对资本配置线的投资者现在必须从可行的选择集合中选出一个最优组
合，这个选择需要风险与收益之间的一种替代关系。个人投资者风险厌恶的不同意味
着在给定一个相等的机会集合（无风险收益率和酬报与波动性比率）下，不同投资者
将选择不同的风险资产头寸。特别地讲，投资者越厌恶风险，越将选择较少风险的资
产，并持有较多无风险的资产。
在第6章中我们指出，期望收益和资产组合收益率的方差可以说明投资者从给定
收益率概率分布的资产组合中获得的效用。具体地说，我们可以有这样一个表述：
2
U＝E（r）…0 。 0 0 5A
这里，A是风险厌恶系数。我们解释这个函数说，资产组合的效用随期望收益率上升
而上升，随着方差上升而下降。这种变化关系的重要程度由风险厌恶系数A决定。对
风险中性的投资者，A＝0。更高水平的风险厌恶反映在更大的A值上。
一个投资者面对无风险利率为rf和期望收益为E（rP）、标准差为
的风险资产组合，
他将发现，对于y的任何选择，整个资产组合期望收益由等式7 … 1给出，这里我们重复
其中的一部分：
P
E（rC）＝rf＋y＇E（rP）…rf＇
由等式7 … 2，全部资产组合的方差为：
C2＝y2
P2
投资者试图通过选择风险资产的最优配置y来使他的效用最大化。我们将问题一般写
成下列形式：
MaxU = E（rC ） … 0。005 AC
2 = rf ＋ y＇E（rP ） … rf ＇ … 0。005 Ay 22
P
y
这里，A是风险厌恶系数。
学过微积分的学生将记得，最大化问题的解决是利用了一阶导数为零。对U求一阶导，
令其为零，解出厌恶风险投资者的最优风险资产头寸的收益率y*，具体的公式如下：＇ 2 ＇
＇1＇ 保证金购买要求把证券保存在经纪人保证金帐户中。如果证券的价值下降并低于“维持保证金”，一
张“追加保证金”的通知就会发出，要求存入现金以使帐户净值升至满意的水平。如果经纪人未收到
追加保证金，法律上要求经纪人卖出部分或全部证券，以恢复应有的保证金水平。参见第3章第3 。 6节，
有深入的讨论。
＇2＇ 求U对y的一阶导，等于E（rP）－rf －0 。 0 1Ay
P2，令其为零，求出y等式7 … 3。
160 第二部分资产组合理论
下载
y *=
E（rP ） … rf （7 … 3）
0。01 AP
2
该结果显示，正如人们所期望的，最优风险资产头寸是用方差测度的，与风险厌
恶水平和风险水平成反比，与风险资产提供的风险溢价成正比。
回到我们的数字例子＇rf ＝7％，E（rP）＝1 5％，
P= 2 2％＇中，具有风险厌恶系数A＝4
的投资者的最优解为
15 … 7
*
y 0。41
0。01 ′ 4 �
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