投资学(第4版)-第170部分

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股票价格的影响。在这个例子中，期权定价很容易：仅仅使套期保值资产组合的价值
等于已知收益的现值。
用上面的例子，期权定价技术将包括以下步骤：
1）　给定可能的年末股票价格，S＋=　2　0　0与S…=　5　0，执行价格为1　2　5美元，计算C＋=　7　5　
与C…=　0。股票价格的变动范围为1　5　0美元，而期权价格的波动范围是7　5美元。
2）　套期保值率为7　5　/　1　5　0　=　0　。　5。
3）　由0　。　5股股票与一份期权空头组成的资产组合，年末的确定价值为2　5美元。
4）　年利率为8％、2　5美元的现值为2　3　。　1　5美元。
5）　让套期保值头寸的现值等于将来的确定收益的现值：

0　。　5S0　…C0=　2　3　。　1　5美元
5　0美元…C0=　2　3　。　1　5美元
6）　解出看涨期权的价值，C0=　2　6　。　8　5美元。
如果期权的价值被高估，譬如3　0美元，那么会怎样呢？会获得套利利润。以下是
套利的具体做法：

（单位：美元）　

做法
对每个可能的股票价格，一年后的现金流
初始现金流S=　5　0　S=　2　0　0　
1。　出售两份期权6　0　0　…1　5　0　
2。　购买1股股票…1　0　0　5　0　2　0　0　
3。　以年利率8％借入4　0美元4　0　…4　3　。　2　…4　3　。　2　
总计0　6　。　8　0　6　。　8　0　

虽然净初始投资为零，但一年后的收益是正值，并且是无风险的。如果期权被低
估了，我们只要采取相反的套利策略：购买期权，出售股票，消除价格风险。记住，


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第21章期权定价

555　

用这种方法，套利赢利的现值正好等于期权价值高估部分的2倍。利率8％、6　。　8　0美元
的现值是6　。　3　0美元。因为该套利策略包含2份期权，每一个期权的赢利为3　。　1　5美元，正
好等于期权价格被高估的数额，即3　0美元减去公平价值2　6　。　8　5美元。


概念检验

问题4：假如看涨期权被低估了，譬如为2　4美元。阐明用来发现错误定价的套利
策略。并且证明每购买一份期权在一年之后可以获得3　。　0　8美元的无风险现金流。

21。3。2　两状态方法的推广
虽然两状态股票价格模型看起来很简单，但是我们可以将其推广，加入现实的假
设。首先，假定我们将一年分成两个6个月的时期，然后假定在任何一个时期，股票
都只有两个可能的价值。这里我们假定股价将增长1　0％或者将下降5％，股票的初始价
格为每股1　0　0美元，在一年中价格可能的路径为：


121　
110　

100　


104。50　
95　
90。25　

中间价为1　0　4　。　5　0美元，可通过两条路径获得：先增加1　0％，再降低5％；或者先降
低5％再增加1　0％。现在有三种可能的年末股票价值与期权价值。


C＋＋　
C＋　


C…＋

C　

C

C…

使用类似前面采用的方法，我们可以从C＋　＋与C＋…得到C＋，然后从C…＋　与C…　…得到C…，。。　
最后再从C＋　与C…得到C。而且我们也没有理由就停止在6个月的时间间隔上，接下来我
们可以把一年分成四个3个月，或者1　2个1个月，或者3　6　5天，每一个时间段都假定是
一个两状态过程。虽然计算量变得很大而且枯燥，但是对计算机程序来说却很容易，
并且这种计算机程序在期权市场预测上得到了广泛的使用。

当我们把一年分成越来越多的间隔时，年末股票可能价格的范围也随之膨胀了，

并且实际上，将最终形成熟悉的钟形分布。这可以从对一段时间内有三个间隔的股票

事件树的分析中看出：

S＋＋＋　


s＋＋
S＋＋


S＋　

S…＋

S　


S＋

S

S…

S

首先，注意当间隔数量增加时，股票可能的价格也增加了。其次，注意最后事件，
像S＋　＋　＋　或者S…　…　…是相对较少的，因为它们需要在三个子间隔内连续增加或减少。中间范
围的，像S＋　＋…能通过不只一条途径得到，价格两升一降的资产组合将会得到股价S＋　＋…。


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556　第六部分期权、期货与其他衍生工具

因此，中等范围的价值的可能性会更大一些。用二项式分布可以将每个结果都描述出
来，因此这种多时期的期权定价方法被称作二项式模型（binomial　model）。

例如，初始股票价格为1　0　0美元，股票价格上涨或下跌的可能性相同，三时期内股

票价格可能增加5％而减少3％，我们能从以下的计算中得出股票价格的概率分布。三时

期内股票价格的变动有八种组合：＋　＋　＋，＋　＋…，＋…＋，…＋　＋，＋…　…，…＋…，…　…＋，…　…　…。

每个都有1　/　8的可能性。因此，股价在最后期末的概率分布为：

事件概率　股票价格

3升1　/　8　1　0　0×（　1　。　0　5　）3=　11　5　。　7　6　
2升1降3　/　8　1　0　0×（　1　。　0　5　）2×0　。　9　7　=　1　0　6　。　9　4　
1升2降3　/　8　1　0　0×1　。　0　5×（　0　。　9　7　）2=　9　8　。　7　9　
3降1　/　8　1　0　0×（　0　。　9　7　）3=　9　1　。　2　7　

中间价值发生的可能性是两端
价值发生可能性的3倍。图2　1　…　5　a　）是
这个例子的频率分布。该图接近于
钟形曲线。实际上，当时间间隔数
量增加时，如图2　1　…　5　b　）所示，频率
分布更接近于对数正态分布，而非
标准正态分布＇　1　＇。


假定我们将股票价格上下变
动的时间间隔继续分小，最后事
件树的每个节点对应着无限小的
时间间隔，那么在这些时间间隔
内股票价格的变动也相应地非常
小。随着时间间隔的增加，最后
的股票价格将越来越接近对数正
态分布。那么两状态模型过于简
单化的缺点就可以通过时间间隔
的进一步细分来克服。


在任何一个节点，都可以建
立一个资产组合来对下一个时间
图21…5　概率分布
间隔的风险进行套期保值。接着，


在下一个时间间隔末，在到达下注：a）　三个时期后股票价格可能的结果及其概率。

一个节点上，又可以重新计算套初始股票价格为1　0　0美元，在每个时期，股票价格或上涨
5％，或下跌3％。

期保值率，对资产组合的构成进
b）　每个时期又分为两个间隔。在六个时期内，股票

行更新。通过不断改变套期保值

价格或上涨2　。　5％，或下跌1　。　5％。随着期间数的增加，股票

头寸，资产组合可以总保持在风
价格分布接近钟型分布。
险对冲的状态，在每个间隔都获
得无风险收益。这称为动态套期保值，也就是随时间不断调整套期保值率。动态套期
保值越来越完善，期权的定价过程也越来越精确。

＇1＇　实际上，这里引入了更复杂的考虑。只有当我们假设股价连续变动，也就是说在很小的时间间隔内股
价仅发生很小的变动时，这一过程的极限才是对数正态分布。这排除了极端事件，像由于戏剧化的信
息突然发生很大的价格变动。对这类跳动事件的处理，参见：John　C。　Cox　and　Stephen　A。　Ross；　“T　h　e　
Valuation　of　Options　for　Alternative　stochastic　Processes”；　Journal　of　Financial　Economics　3　（January…
March　1976）；　PP。　1　4　5　…　6　6　；　或者Robert　C。　Merton；　“Option　Pricing　when　Underlying　stock　Returns　Are　
D　i　s　c　o　n　t　i　n　u　o　u　s　；”　Journal　of　Financial　Economics　3（January…March　1976）；　PP。　125…44。　
概率
未来股票
价格
未来股票
价格
概率
b）　
a）　

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第21章期权定价

557　


概念检验

问题5：当期权的实值状态越深时，套期保值率是越大还是越小？（提示：记住套
期保值率是期权价格的变化与股票价格变化的比率。什么时候期权价格对股票价格的
变动更敏感？）　

21。4　布莱克…舒尔斯期权定价模型
尽管我们介绍过的二项式模型方法要灵活得多，但这种方法在实际工作中需要用
计算机，而期权公式却要简单得多，没有二项式模型中的复杂的步骤，只要作两个假
设，公式就可以用了，这两个假设是无风险利率与股票价格的标准差在期权有效期内
保持不变。

21。4。1　布莱克…舒尔斯公式
金融经济学家一直在寻找一种实用的期权定价模型。最后，终于由布莱克、舒尔
斯＇　1　＇与默顿＇　2　＇发现了计算看涨期权价值的公式，舒尔斯与默顿也因此获得了1　9　9　7年诺贝
尔经济学奖＇　3　＇。现在，布莱克…舒尔斯定价公式（Black…Scholes　pricing　formula）已被期货
市场参与者广泛接受，该公式如下：

C0=S0　N（d1）…Xe　N（d2）　（　2　1　…　1　）

…r　T

其中

1n（s0/　X）　＋　（r　＋　2/2）T

d1　=　


T　

d2　=　d1　…　


T　

式中C0　—当前的看涨期权价格；
S0　—当前的股票价格；


N（d）—标准正态分布小于d的概率，图2　1　…　6的阴影部分；
X—执行价格；
e—2　。　7　1　8　2　8，自然对数的底；
r—无风险利率（与期权的到期期限相同的安全资产的连续复利的年收益

率，与离散时间的收益率rf不同）；　
T—期权到期时间；
l　n—自然对数函数；


—股票连续复利的年收益率的标准差。
期权价格并不取决于股票的期望收益率。实际上，该公式中已经包含了股票价格

的信息，而股票的价格与股票的风险特性有关。这里的布莱克…舒尔斯公式假定股票不

支付红利。

尽管你会觉得布莱克…舒尔斯公式很复杂，但是我们可以从直觉上进行理解。把
N（d）部分看作看涨期权在到期处于实值的风险调整概率。首先，看一下2　1　…　1式，假设
两个N（d）均为1，我们就看到看涨期权被执行的可能性很高。看涨期权价值为S0　…Xe　…r　T　，　
这也是我们前面提到过的调整后的内在价值，S0　…P　V　（X）。这一点是很有意义的，如果
确实执行了，我们就获得了以S0为现价的股票的所有权，而承担了现值为P　V　（X）的债

＇1＇　3　Fischer　Black　and　Myron　Scholes；　The　Pr