投资学(第4版)-第115部分

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为证明这点，我们做个各债券到期利率的计算。一年期债券今天的价格为9　2　5　。　9　3　
美元，一年后的本息为1　000美元。由于这是零息票债券，所以总收入只有1　000美元

9　2　5　。　9　3美元＝7　4　。　0　7美元。回报率为7　4　。　0　7美元/　9　2　5　。　9　3美元＝8％。二年期债券今天的价
格为8　4　1　。　7　5美元，明年的利率上升为1　0％，债券还只剩一年就到期，一年后它的卖价
应为1　000　美元/　1　。　1　0＝9　0　9　。　0　9美元。因此，持有期的回报率为（　9　0　9　。　0　9美元…8　4　1　。　7　5美
元）　/　8　4　1　。　7　5美元＝8％，你看，还是8％的回报率。同样的，三年期债券今日购买价为
7　5　8　。　3　3美元，一年后售出价为1　000　美元/　（　1　。　1　0×1　。　11　）＝8　1　9　。　0　0美元，其回报率为
（8　1　9　。　0　0美元…7　5　8　。　3　3美元）/　7　5　8　。　3　3美元＝0　。　0　8，仍是8％的回报率。
概念检验

问题1：证明四年期债券回报率仍为8％。


372　第四部分固定收益证券

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我们由此可知，如利率期限确定，且所有债券按公平价格销售，则所有债券的一
年期回报率相等。较长期债券的较高收益率仅仅反映了这样一个事实，即未来利率高
于当前利率及较长时期的债券在较高利率时期仍在继续生利。短期债券持有者只得到
较少的到期收益率，但他们可将其所得做再投资，或待今后利率上升时将其以前所得

“再投入”，以获得更高收益。最终，长期债券与短期但再投资两种策略的回报率在整
个持有期相等，至少在利率确定情况下是这样的。

15。1。3　远期利率
不幸的是，投资者不知未来年份的短期利率的变化情况，他们真正能够知道的是
报纸上列出的债券价格与到期收益率。他们能够从现有数据中推断出未来的短期利率
吗？

假设我们对未来三年的利率感兴趣，而掌握的资料仅限于表1　5　…　2的数据。我们来

比较两个投资方案的选择，见图1　5　…　4：　
1）　投资于三年期零息票债券。
2）　投资于两年期零息票债券，两年后再将收入所得投资于一年期的债券。

3年投资
时间线
选择1：购买并持有3年
零息证券
选择2：购买2年零息证
2年投资1年投资
券再投资1年零息证券
图15…4　两个三年的投资方案

假定投资1　0　0美元，在方案1下，三年期零息票债券有一个9　。　6　6　0％的到期收益率，
我们的投资最后得到的本息为100（1。096　6）3＝1　3　1　。　8　7美元；在方案2的情况下，1　0　0美
元投资于两年期的债券，两年后得到本息为100（1。089　95）2＝11　8　。　8　0　美元，然后在第三
年再投资一年，其资金会再增长1＋r3。

在一个确定的世界中，这两种方案的最终结果是完全一样的。如果方案1优于方
案2，则没有一个人愿意持有两年期债券，则这种债券的价格将下降，它们的收益率
将上升。反之，如果方案2优于方案1，则无人愿意持有三年期债券。所以，我们可得
出结论：1　3　1　。　8　7美元＝11　8　。　8　0　美元（　1＋r3），这即意味着（　1＋r3）＝1　。　11　，或r3　＝11％，这
就是三年期的利率，如表1　5　…　1所示。这样，我们获得三年期利率的方法就有效地解决
了确定条件下的方案比较问题。

更一般地说，以上的比较提供了一个三年期债券回报率与两年期债券的回报再投
资，其各自的总收益相等的策略：

1　0　0　（　1＋y3）3＝1　0　0　（　1＋y2）2（　1＋r3）　


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第15章利率的期限结构

373　

所以有1＋r3　＝（　1＋y3）3/　（　1＋y2）2。一般来说，在利率变化确定的情况下，可从零息
票债券的收益率曲线中推出未来短期利率的简便算法，其计算公式如下：

1＋rn　＝（　1＋yn）n/　（　1＋yn－1）n－1　（　1　5　…　4　）　

式中n为期数，yn为n期零息票债券在第n期的到期收益率。

此式有一简单解释。等式右边分子的含义是n期零息票债券到期的总增长因素，
同理，分母的含义是n…1期投资的总增长因素。由于前者比后者的投资期限多一年，
其增长量的差别一定是将n…1年的回报再投资一年。

当然，当未来利率不确定时，如现实中的那样，无法推断未来“确定”的短期利
率。今天无人得知将来的利率是什么，我们至多能设想它的预期值，并与不确定性相
联系。但人们通常仍旧用1　5　…　4式来了解未来利率的收益率曲线情况。由于认识到未来
利率的不确定性，人们将以这种方式推断出的利率称为远期利率（forward　interest　
r　a　t　e）而不是未来短期利率，因为它不必是未来某一期间的实际利率。

如果n期的远期利率为fn，我们可用下式定义fn　

1＋fn　＝（　1＋yn）n/　（　1＋yn－1）n－1　

经整理有

（　1＋yn）n＝（　1＋yn－1）n－1（　1＋fn）　（　1　5　…　5　）　

在这里，远期利率被定义为“收支相抵”的利率，它相当于一个n期零息票债券
的收益率等于（n…1　）期零息票债券在第n期再投资所得到的总收益率。如果在n期的点
利率等于fn，投资于n期的选择与先投资于（n…1　）期，然后再投资于下一期的选择，结
果是一样的。

需要指出的是，未来的实际利率并不必然等于远期利率，它只是我们今天根据已
有的资料计算得出的。甚至不必要求远期利率等于未来短期利率的预期值。这是一个
我们大大简化了的论点。在这里，我们强调的是远期利率在利率确定的条件下一定等
于未来短期利率。

15。2　期限结构的测度
到目前为止，我们的分析仅限于无违约风险下的零息票债券，由于它们的到期日
是给定的，只有单一支付，所以最易于分析。但在实际生活中，多数债券采用息票付
息方式，所以，我们需要从息票价格中发明一种计算现期利率与远期利率的方法。

1　5　…　4式与1　5　…　5式仅仅适合于零息票债券的远期利率计算，它们是在两种互相竞争
的投资策略结果相等的基础上推导出来的。如果在策略选择中也包括息票债券，就必
须要考虑投资期的付息与再投资问题，这会使问题复杂化。

如果息票利率不同，由此带来收益率不同，即便到期日相同也会使分析更为复杂。
例如，有两种债券，到期期限均为2年，每年支付一次息票，债券A的息票利率为3％，　
债券B的息票利率为1　2％。还用表1　5　…　1中的利率，债券A的卖价为

（　3　0美元/　1　。　0　8　）＋＇1　030美元/　（　1　。　0　8×1　。　1　0　）　＇＝8　9　4　。　7　8美元

在这一价格上，它的到期收益率为8　。　9　8％，债券B的售价为

（　1　2　0美元/　1　。　0　8　）＋＇1　120美元/　（　1　。　0　8×1　。　1　0　）　＇＝1　053。87美元
在这一价格上，它的到期收益率为8　。　9　4％。由于债券B在利率较低时的第一年有一
较高的支付额，它的到期收益率也稍低。由于两种债券有相同的到期日但有不同的收
益率，我们可以得出结论，即与到期时间和收益相关的单一收益率曲线，不能适用于
所有的债券。
这一使用零息债券收益率曲线所产生的模糊结论，贯穿于我们分析的始终。我们


374　第四部分固定收益证券

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有时也称它为纯收益率曲线。我们的目标就是计算这一纯收益率曲线，即便在不得不
使用更一般的息票债券数据时也是如此。

得到曲线的技巧是把每一个息票支付看作一个独立的“微小”的零息票债券。这
样息票债券就变成许多零息票债券的“组合”。我们在前述章节也确实看到，大多数
零息票债券产生于从息票债券中剥离出的息票支付，再将其与许多其他到期日相同的
证券重组。通过决定这些“零息的”各自的价格，可得出单一支付债券的到期收益率，
从而得到纯收益率曲线。

举例说明这种技巧，假定有一1年期债券，每半年支付8％的利息，价格为9　8　6　。　1　0　
美元；另一种1年期债券，每半年支付1　0％的利息，价格为1　004。78美元。为计算以后
两个半年的短期利率，首先要找出各自的支付现值，也即把它们当做微小的零息债券。
半年得到的1美元的现值为d1，一年时得到的1美元的现值为d2（d代表折现价值；有d1　
＝1　/　（　1＋r1），这里r1为前半年的短期利率）。这两种债券同时满足下式：

9　8　6　。　1　0＝d1×4　0＋d2×1　040　
1　004。78＝d1×5　0＋d2×1　050　
在每一等式中，债券的价格等于它所有现金流的折现值。解这组等式，有d1　＝　

0。956　94　，d2　＝0　。　9　11　37　。因此，如果r1是前半年的短期利率，则，d1　＝1　/　（　1＋r1）　＝　
0。956　94　，所以r1　＝0　。　0　4　5，d2　＝1　/　＇　（　1＋r1）　（　1＋f2）　＇＝1　/　＇　（　1　。　0　4　5　）　（　1＋f2）　＇＝0　。　9　11　…　3　7，所以，
f2　＝0　。　0　5。因此，前半年的短期利率为4　。　5％，后半年的短期利率为5％。
概念检验

问题2：一面值10　000美元的半年期国库券售价为9　700美元。一每半年按4％利率
付息的一年期国库券售价1　000　美元。试计算前半年的短期利率及后半年的远期利率。

当我们分析多种债券时，这种计算方式就更困难了。困难的原因在于债券的数量
大、期限多样，也在于并非所有债券都能计算1美元的远期折现值。换句话说，定价
关系上有误差是明显的＇1＇　。但我们把这些误差看成是一些随机的偶差，这就可用统计
方法来推断收益率曲线中的远期利率模式。

为理解统计方法如何奏效，我们假定有多种债券，以i为指数，卖价为Pi，债券i　
在时间t的息票收益率与/或本金的现金流为C　Fi　t，1美元在时间t的折现值，即我们试图
解出的零息票债券价格为dt。这样，对每一种债券我们有：

P1　＝d1C　F11＋d2C　F1　2＋d3C　F1　3＋。＋e1　
P2　＝d1C　F2　1＋d2C　F2　2＋d3C　F